EL OBJETIVO BASICO DE ESTA TESIS ES EL ESTUDIO DE LA ESCISION DE SEPARATRICES DE PUNTOS
HIPERBOLICOS PARA APLICACIONES SIMPLECTICAS.LA MEMORIA POSEE DOS PARTES MUY DIFERENCIADAS. EN LA PRIMERA SE USAN LOS METODOS PROPIOS DE LA TEORIA DE PERTURBACIONES PARA OBTENER RESULTADOS QUE SE PUEDEN INSCRIBIR DENTRO DE LA TEORIA DE MELNIKOV.
EN LA SEGUNDA SE ESTUDIA LA POSIBILIDAD DE QUANTIFICAR FENOMENOS EXPONENCIALMENTE PEQUEÑOS A PARTIR DE LAS PREDICCIONES GENERADAS POR LA TEORIA DE MELNIKOV, NO APLICABLES DIRECTAMENTE, COMO ES BIEN SABIDO.
LOS RESULTADOS OBTENIDOS EN CADA CAPITULO DE LA MEMORIA SE PUEDEN SINTETIZAR COMO SIGUE:
CAPITULO 1.- SE REDERIVA LA TEORIA DE MELNIKOV PARA APLICACIONES ANALITICAS PLANAS, HACIENDO HINCAPIE EN EL CARACTER BIPERIODICO DE LA FUNCION DE MELNIKOV, EL CUAL PERMITE CALCULAR DICHAS FUNCIONES USANDO LA TEORIA DE FUNCIONES ELIPTICAS. COMO
COROLARIO, SE OBTIENE UN POTENTE CRITERIO DE NO INTEGRABILIDAD. LA TEORIA CONSTRUIDA SE APLICA SOBRE DOS MODELOS MUY CONOCIDOS:
BILLARES Y APLICACIONES DE TIPO ESTANDAR.
EN PARTICULAR, SE PRUEBA UNA VERSION LOCAL DE LA CONJETURA DE BIRKHOFF SOBRE INTEGRABILIDAD DE BILLARES:
CUALQUIER PERTURBACION ENTERA SIMETRICA NO TRIVIAL DE UN BILLAR ELIPTICO ES NO INTEGRABLE.
CAPITULO 2.- SE GENERALIZAN LOS RESULTADOS DEL CAPITULO ANTERIOR A LAS APLICACIONES SIMPLECTICAS EXACTAS. LOS PUNTOS CRITICOS NO DEGENERADOS DE UNA FUNCION ESCALAR (LLAMADA POTENCIAL DE MELNIKOV) SE ASOCIAN A ORBITAS HOMOCLINICAS PRIMARIAS
TRANSVERSALES. BAJO CIERTAS HIPOTESIS, SE ACOTAN INFERIORMENTE EL NUMERO DE DICHAS ORBITAS HOMOCLINICAS QUE PERSISTEN TRAS LA PERTURBACION.
EJEMPLOS CONCRETOS MUESTRAN QUE LAS COTAS OBTENIDAS SON OPTIMAS.
CAPITULO 3.- SE ESTABLECE UNA FORMULA ASINTOTICA EXPONENCIALMENTE PEQUEÑA PARA LA ESCISION DE SEPARATRICES EN PERTURBACIONES SINGULARES DE UNA APLICACION INTEGRABLE DE TIPO ESTANDARD, LLAMADA APLICACION DE DE MCMILLAN. LA FORMULA OBTENIDA
COINCIDE CON LA PREDICHA POR LA TEORIA DE MELNIKOV.
CAPITULO 4.- ESTE CAPITULO ES LA CONTINUACION NUMERICA DEL CAPITULO ANTERIOR. SE COMPRUEBA EXPERIMENTALMENTE HASTA QUE PUNTO LOS RESULTADOS TEORICOS ANTES MENCIONADOS SON OPTIMOS, AL MISMO TIEMPO QUE SE CONJETURAN NUEVOS RESULTADOS TEORICOS
DONDE LA TEORIA DE MELNIKOV ES CLARAMENTE INAPLICABLE. ESTO REQUIERE EL USO DE UNA COSTOSA ARITMETICA DE MULTIPLE PRECISION, EL DESARROLLO DE LAS CURVAS INVARIANTES LOCALES HASTA ORDENES ELEVADOS Y EL APROVECHAMIENTO DE LAS SIMETRIAS PARA PODER
EFECTUAR LOS CALCULOS EN UN TIEMPO RAZONABLE.