REALIZACIONES DE GALOIS MODULARES DE GRUPOS LINEALES

Autor: DIEVIEFAIT LUIS VÍCTOR
Año: 2000
Universidad: BARCELONA
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMÁTICAS
Centro de lectura: MATEMÁTICAS
Director: VILA OLIVA NURIA
Tribunal: TENA Y AYUSO JUAN , NART VIÑALS ENRIC , ARENAS SOLÁ ANGELA , FREY GERMARD , ZARZUELA ARMENGOU SANTIAGO
Resumen de la tesis

En esta tesis investigamos el problema de dar criterios para que las imágenes de una familia compatible de representaciones de Galois sean "tan grandes como es posible" para casi todo primo. Las familias de representaciones de Galois que consideramos son modulares o geométricas, asociadas a ciertas formas modulares o a alguna variedad lisa y proyectiva. A través de los diferentes capítulos se tratan los casos de tales familias de representaciones de dimensión dos, tres y cuatro. En cada caso también se dan métodos efectivos para acotar el conjunto de primos excepcionales, es decir, aquellos para los cuales la imagen no es "tan grande como es posible", y se extraen las consecuencias correspondientes desde el punto de vista del problema inverso de la teoría de Galois. La imagen más grandes posible se define teniendo en cuenta las restricciones intrínsecas en cada caso, por ejemplo en el caso de superficies abelianas principalmente polarizadas sabemos a priori que las representaciones de Galois en los módulos de Tate son simpléctivas. Los casos que se consdieran son, concretamente: * Caso 2-dimensional modular: Representaciones de Galois asociadas a formas modulares clásicas sin multiplcación compleja, con o sin twists internos. Versión efectiva de los teoremas de determinación de imágenes de Momose y Ribet. Aplicación: Realización de grupos proyectivos lineales como grupos de Galois. * Caso 3-dimensional modular y geométrico: Representaciones de Galois geoméricas construídas por van Geemen y top y represetaciones de Galois modulares (conjeturales) asociadas vía la conjetura de Clozel a formas modulares cohomológicas. Criterios para maximaliada de las imágenes y determinación efectiva. Aplicación: Realización de grupos lineales y unitarios como grupos de Galois. * Caso 4-dimensional geométrico: Representaciones de Galois asociadas a superficies abelianas principalmente polarizadas. Versión efectiva del resultado de determinación de imágenes de Serre. * Caso 4-dimensional modular: Representaciones de Galois asociadas a formas de Siegel de género 2 (Taylor-Weissauer). Criterios para maximalidad de las imágenes y determinación efectiva. Aplicación: Realización de grupos proyectivos simplécticos como grupos de Galois. Los resultados obtenidos en esta tesis sugieren que para formas modulares algebraicas en un grupo reductivo arbitrario, las imágenes de las familias compatibles de representaciones de Galois asociadas (en la mayoría de los casos estas represetanciones sólo existen conjeturalmente) serán "tan grande como es posible" para casi todo primo si y solo si la forma modular no proviene de un grupo reductivo menor.
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