En la presente Tesis, se estudia el espectro del operador de Dirac en dos tipos de
variedades riemannianas espinoriales: por un lado, en variedades compactas con frontera no vacía (en cuyo caso es necesario imponer condiciones de frontera adecuadas para poder hablar de espectro) y, por otro lado, en variedades que acotan dominios
compactos dentro de otras variedades riemannianas espinoriales. Principalmente, se describen estimaciones inferiores para el módulo de los valores propios del operador de Dirac en este tipo de variedades y de estas acotaciones inferiores se deducen
ciertas consecuencias geométricas globales.
En el primer capítulo, se exponen los preliminares algebraicos que son necesarios para introducirse en el estudio del operador de Dirac. Dado el reducido número de monografías existentes sobre este tema, se realiza un estudio completo acerca de
las estructuras analíticas y geométricas existentes sobre las variedades riemannianas espinoriales. Se describen, en términos de la teoría de cohomología de Cech, las obstrucciones topológicas que existen para que una variedad diferenciable pueda
soportar una estructura espinorial. Se detallan las propiedades fundamentales del operador de Dirac y algunos teoremas relacionados con el mismo. Además, se analiza cómo se induce la estructura espinorial de una variedad riemanniana espinorial sobre
cualquier hipersuperficie orientable suya, y se realiza un estudio acerca de la relación existente entre los respectivos operadores de Dirac de la variedad y su hipersuperficie.
En el segundo capítulo, se hace un estudio del espectro del operador de Dirac en variedades riemannianas espinoriales compactas con frontera no vacía. En este caso, para poder considerar el espectro del operador de Dirac, es necesario
restringir la clase de campos de espinores con los que se trabaja, y ello se consigue utilizando condiciones de frontera. Se utiliza la teoría de operadores pseudo-diferenciales para definir condiciones de frontera y se caracteriza cuáles de éstas
son elípticas para el operador de Dirac. Se presentan cuatro de estas condiciones, y se estudia el espectro del operador de Dirac bajo cada una de ellas. Concretamente, se demuestra que bajo las hipótesis adecuadas sobre la curvatura escalar de la
variedad y la curvatura media del borde, se sigue verificando la misma estimación dada por Friedrich para variedades sin borde. La igualdad no se alcanza nunca bajo dos de estas condiciones y, en las otras dos, la igualdad caracteriza, por un lado,
a las semiesferas euclídeas y, por otro lado, a las variedades que poseen campos de espinores de Killing reales no triviales y su borde es minimal.
En el tercer capítulo se realiza un estudio del espectro del operador de Dirac sobre variedades que acotan dominios compactos dentro de otras variedades riemannianas espinoriales en el caso en que dicho dominio posea curvatura escalar minorada
por una constante negativa. Concretamente, se obtiene una estimación inferior extrínseca óptima para los primeros valores propios del operador de Dirac de ciertas hipersuperficies que acotan dominios compactos en variedades riemannianas espinoriales
de curvatura escalar negativa. Las variedades que alcanzan la igualdad en esta estimación inferior poseen campos de espinores de Killing imaginarios no triviales. Además, se deducen algunas consecuencias geométricas de tipo global, como una versión
del teorema de Alexandrov para espacios pseudo-hiperbólicos, una clase de principio holográfico y algunos resultados de unicidad sobre las ecuaciones de Einstein.