Análisis de la comprensión en los alumnos de Bachillerato y primer año de la Universidad sobre la noción matemática de la Derivada (desarrollo del concepto)

Autor: Sánchez - Matamoros García Gloria Mª
Año: 2004
Universidad: SEVILLA
Centro de realización: Facultad de Ciencias de la Educación
Centro de lectura: Facultad de Ciencias de la Educación
Director: Llinares Ciscar Salvador
Tribunal: Sierra Vázquez Modesto , Sánchez García Victoria , Valls González Julia , Camacho Machín Matías , Escudero Pérez Isabel
Resumen de la tesis

La investigación pretendía analizar el desarrollo de la comprensión del concepto de Derivada. Este concepto matemático se introduce durante la Enseñanza Secundaria, en el nivel de Bachillerato (16-18 años). Los participantes fueron un total de 150 estudiantes, 50 de 1º Bachillerato, 50 de 2º Bachillerato y 50 de 1º de la Licenciatura de Matemáticas. Adaptamos la aproximación al desarrollo de un esquema de Piaget y García (1983/89) a través de tres fases: Intra, Inter y Trans. Definimos un esquema como "la estructura matemática formada por las relaciones lógicas que se establecen entre los elementos matemáticos que constituyen una noción matemática, y que puede ser evocado para la resolución de un problema". En la caracterización de los elementos matemáticos de la noción de derivada se consideraron los modos de representación (analítico/ gráfico) y el caracter puntual (x=a) y global (intervalo) de la propiedad. Además se identificaron tres tipos de relaciones lógicas entre los elementos matemáticos. Caracterizamos los niveles de desarrollo del esquema de derivada en relación a relaciones lógicas establecidad entre los elementos y en función del uso que los estudiantes hacían de los elementos matemáticos en la resolución de problemas. La elaboración de los instrumentos de recogida de datos (cuestionario y entrevista) implicó dos etapas: 1) análisis de la noción de derivada, para identificar elementos matemáticos y relaciones lógicas que pueden darse entre ellos en la resolución de problemas. 2) selección de problemas de los distintos cuestionarios. El análisis de las respuestas se desarrolló en dos fases. En una primera fase se analiza las respuestas a cada uno de los problemas de forma aislada, y en una segunda fase se describe el compotamiento del estudiante a través de todo el cuestionario. Las dos fases del análisis nos permitieron asignar a cada estudiante a un nivel de desarrollo del esquema de Derivada, y refinar la caracterización de dicho desarrollo a través de subniveles. Los resultados obtenidos nos permiten afirmar que el desarrollo del esquema de derivada no es algo que esté necesariamente vinculado a conocer muchos elementos cosntitutivos del concepto, sino también a ser capaces de relacionarlos durante la resolución de problemas. Los estudiantes de 1º Licenciatura de Matemáticas podían conocer más elementos matemáticos del concepto de Derivada que los de Bachillerato, pero sin embargo había un número importante de ellos que sólo eran capaces de usarlos de manera aislada o sólo relacionar un limitado número de ellos para obtener información pertinente en la resolución de los problemas, nuestros resultados indicaron que al cabo de tres años de enseñanza de la derivada muchos estudiantes (31%) no eran capaces de ir más allá de recordar de manera aislada o relacionar algunos elementos. El análisis realizado puso de manifiesto que había una construcción progresiva del esquema, y que existía cierta influencia de los modos de representación a la hora de establecer relaciones lógicas, o de hacer uso de los elementos matemáticos necesarios en determinadas situaciones. Estos dos aspectos fueron los que nos llevaron a hablar de subniveles. La caracterización a través de las relaciones lógicas que se establecen y los elementos matemáticos que se usan, consideramos que es una concreción de la idea de entender el "desarrollo" como "coordinación de la información al intentar resolver un problema", idea aceptada y reconocida hasta estos momentos. Identificándose en el subnivel Trans la "síntesis" de la información gráfica y analítica. Y llegándose a la tematización del esquema desde el nivel Trans cuando el individuo es capaz de trasladar las relaciones entre f y f ' al par f ' y f '' y reconoce los límites de los dominios de aplicación de las propiedades.
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